Edición 4 Artículo 11

DISEÑO Y SlMULACJON DEUN CONTROLADOR 01FUSO

Gabriefa Cerezo Leal y Eduardo G6mez Ramirez

Universidad de Sheffield1 Reino Unido y Centro delnvestígación, Universida La Salle

RESUMEN

Desde que surgió, hace más de 20 aos, la Teoria de Conjuntos Difusos ha evolucionado notablemente, se ha desarrollado como una colección de conceptos y técnicas que permiten trabajar con fenómenos complejos que no permiten ser analizados por los métodos tradicionales como la Lógica Bivalente o la Teoría de Probabilidades. Actualmente, ha trascendido más allá de lo que es el desarrollo de la teoría y se han encontrado un sinnúmero de aplicaciones, utilizándose principalmente en el control de

procesos industriales. A pesar de ser una teoría nueva, la Lógica Difusa tiene aplicaciones actualmente en diversos campos como la inteligencia artificial, computación, robótica, ingeniería de control, toma de decisiones, sistemas expertos, lógica, investigación de operaciones, sociología, mercadotecnia, entre otras. Es en Japón donde más se ha aplicado la Teoría de la Lógica Difusa y se han explotado notablemente sus ventajas y flexibilidad en los diversos campos.

Este trabajo, pretende mostrar la facilidad y versatilidad de la Lógica Difusa para implantar sistemas de control para procesos industriales. Se diseñó un controlador para un sistema hidraúlico de segundo orden. ya que este proceso se encuentra, con distinto grado de complejidad, en la mayoría de las plantas industriales.

ABSTRACT

When appeared, more than 20 years ago, the theory of fuzzy sets has remarkable evolutionated, this theory has develop as a collection of concepts and techniques that allows to work with complex phenomena, that it's not easy to be analyzed by the traditional methodology as the binary logic or probability theory. Now has a trascendental development more than the development of the theory and we found an unlimited number of applications with a main use in the control of industrial process. Althought it's a new theory, the Fuzzy Logic (FL) has application in different fields, as artificial lntelligence, computation, robotics, control engineering, take decisions, expert systems, logics, sociology, marketing, among others. Japan is the country where FL has found remarkable advantages and flexibility in several fields. The current study shows the easyness and versatility of the FL to implant a

control system for industrial process. We designed a controller for a 2nd order hidraulic

system because we could find this one in most of the industrial plants.

INTRODUCCIÓN

La Lógica Difusa se fundamenta en lo que se conoce como Teoría de Conjuntos Difusos [1J. que como su nombre lo indica se basa en conceptos en los que todo tiene un grado de pertenencia. Los números sobre los cuales se apliquen estos conceptos. dejarán de pertenecer a la lógica clásica ó bivalente, y tomarán valores que estarán en un rango de O a 1. Estos números pueden representar cualquier

concepto que se produzca en el razonamiento humano, desde un concepto bivalente como sí o no, hasta un concepto ambiguo como muy, mucho, no tanto, un poco,etc.

En las plantas modernas, se ha utilizado el control por medio de computadoras [2,3), la planta se modela y se calculan Jos parámetros de control necesarios para controlar dicho proceso. Los modelos de las plantas son en realidad aproximaciones del proceso real y en muchos casos el esfuerzo requerido para desarrollar el modelo matemático se convierte una tarea muy difícil y por consiguiente consume mucho

tiempo de procesamiento.

Las estrategias de control han evolucionado notablemente a partir del controlador PID tradicional [4]. sin embargo, en algunos casos la estrategia puede ser buena pero si el modelo del proceso no es el adecuado, el control del proceso no tendrá resultados óptimos. Gracias a las grandes ventajas y flexibilidad con las que cuenta la Lógica Difusa para expresar conceptos y acciones ambiguas [5]. surge

el control Difuso (FLC)1 como una buena opción para fa solución de dichos problemas. (6-9]

En este trabajo se presenta la descripción deldiseño de un controlador difuso y su implementación para el control de una planta de segundo orden. El artículo está estructurado de la siguiente forma: primero se analizan algunos conceptos básicos sobre lógica difusa (10-12]. luego se analizará cuál es la metodología para diseñar un control difuso y su comparación con control clásico (PID2). por últímo se presentarán los resultados y las conclusiones .

CONCEPTOS GENERALES DE LÓGICA DIFUSA

Número Difuso

se dice que un número N es difuso si N es un conjunto normalizado y convexo que pertenezca a los números reales, tal que:

a) Exista exactamente un elemento E rn con un grado de pertenencia µN(x0) = 1. Donde Xo se conoce como valor medio de N y,

b) Que la función de pertenencia µN(x) sea continua por partes. En la figura 1 se muestran las funciones de pertenencia para los números difusos 3 y 7.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig.1 Números Difusos 3 y 7

1Fuzzy Logic Control

2 Proportional Integra l Derivative Controller

Fig. 2. Variable Lingüística EDAD

Fu nciones de Pertenencia

Las funciones de pertenencia µ(x) son funciones en x que definen el Conjunto Difuso que representa a la variable lingüística. Estas funciones determinan el grado de pertenencia de un elemento al conjunto difuso, por lo que se representan:

µA(x) = f(x) y representa el grado en que x E A

Las funciones de pertenecía pueden estar definidas de distintas maneras, las más comunes y más sencillas de procesar son aquellas definidas con números difusos del tipo triangular o bien trapezoidal. Las únicas condiciones que deben cumplir son:

a) Que su rango esté normalizado de [O,1] y,

b) Que entre más cumpla el elemento del conjunto las características que definen la variable lingülstica, más cercano sea su grado de pertenecia a 1.

Un ejemplo de función de pertenencia es el que se muestra en la siguiente figura:

Se considera el consecuente del ejemplo utilizado anteriormente; Consecuente : Si et jitomate está rojo ,está maduro

Los conceptos "jitomate está rojo'' y "está maduro", se pueden expresar como Conjuntos Difusos. sin embargo, como tales, representan conceptos independientes. Es la claúsula Si... entonces... la que los relaciona en un solo concepto. Esta claúsula está determinada por la relación difusa que dará como resultado el Conjunto Difuso deseado.

Con esto se puede decir, que todas las acciones que desempeña el ser humano en su vida cotidiana. se pueden expresar como un conjunto de reglas Si... entonces .....

Fuzificación y Defuzificación

Se conoce como proceso de "fuzificación", al hecho de aplicar la Lógica Difusa al conjunto de reglas Si...entonces... que determinan una acción y posteriormente relacionar todas estas reglas por medio de una suma lógica. Este proceso de tuzificación siempre, va de las premisas o condiciones a la conclusión y, posteriormente pasa por la suma lógica. Hasta aquí se obtiene un resultado que será un número difuso. Para convertir este número difuso a un número ordinario (que puede ser un valor normalizado).

:;egún la salida deseada del proceso, es necesario "defuzificarlo" del inglés "deffuzzify", que comúnmente se entendería como quitarle lo difuso al resultado. (13]

En la figura 4, se muestra esquemáticamente un proceso de inferencia por medio de los procesos de fuzificación y defuzificación.

Como se puede ver tas reglas son independientes unas de otras y por lo tanto se pueden procesar de

..',/;$'

ru:GU n ..'b

ENTRADA(S) ANTECEDEN'l'E CONSECUENTE

" Y " lo¡¡Joo

Fig. 4 Proceso de Inferencia Difuso

CONTROL DIFUSO

Los controlador es Difusos son distintos a los controladores clásicos, ya que no necesitan de un modelo o algoritmo matemático que determine cómo las salidas dependen de la entrada para alcanzar el punto de ajuste deseado.

Los Controladores Difusos, representan elcomportamiento ambiguo de un sistema o proceso mediante un conjunto de reglas Si... Entonces ... que llevarán a una conclusión Difusa la cual, se tendrá que defuzíficar .

El diagrama básico de un proceso controlado mediante Controlador Difuso es el que se muestra en la figura 5.

- +

cir.,:rpn¡ r11 n -=r.1

Fig. 5 Diagrama de Bloques Sistema de Control Difuso

La estrategia de control de un Controlador Difuso reside en el conjunto de reglas que determinarán el comportamiento tanto del controlador como del sistema , estas reglas están basadas en la base de conocimientos de un operador experto del proceso . En la siguiente figura se presenta el diagrama de

!unc).o.ne.

p _ . . ..r-Let:IC.Oei.a

DlAGRAMA DE BLOQUES

CONLROWX>R Olf'USO

Fig. 6. Controlador Difuso

Del diagrama de bloques anterior, se tiene que el algoritmo de un controlador difuso puede expresarse como sigue:

1. Definir las variables de entrada y de control, así como los estados intermedios que se deben observar y controlar.

2. Definir los conjuntos difusos que expresarán las observaciones y acciones del proceso, es decir, determinar las variables lingüísticas y funciones de pertenencia .

3. Diseñar la base de reglas, que determinará cuáles reglas se activarán bajo qué condiciones

4. Diseñar la unidad de procesamiento difuso, ésta proporcion.srá la salida difusa.

5. Determinar el método para quitarle lo difuso a la salida , es decir, defuzificar la acción de control correspondiente.

El siguiente cuadro comparativo, muestra las principales diferencias entre el algoritmo para un Controlador Clásico y un Controlador Difuso.

En un controlador PID convencional, lo que se modela es el sistema o proceso a controlar, mientras que en un Controlador Difuso la parte esencial son las acciones de control dadas por el operador experto .

En el primer caso, el sistema se modela por un conjunto de ecuaciones diferenciales, lo cual no siempre es fácil o incluso posible; y la solución de las ecuaciones diferenciales indican al PID como ajustar sus parámetros para un comportamiento determinado. En un Controlador Difuso, estos parámetros ya están dados en la base de reglas generada por el operador experto.

$Cuadro de texto: PID CONTROLADOR DIFUSO Modelado Matemático Es necesario conocer el modelo del sistema o cuando menos una muy buena aproximación del mismo. En este caso en particular por la sencillez del sistema, s1 se conoce bien el modelo . -i - ..... k¡!¡'.¿\: ¿ - IR¡I¡ , r , •! • Í\ .! h - 1 f() N($) )\ -:'!< DA i..'.l lll\ Conocimiento del Sistema Requiere el operador experto, mas no es indispensable. En este caso no se contó con uno, por lo que sólo se necesitó conocer un poco el comportamiento del sistema y se recurrió a la como de las reglas d'el proceso$

Algoritmo de Control PID Discreto

u(kT) = kpe(kT) + k¡e((k - 1)T]

+ kd e[(k- 2) T] +u((k - 1)T)

Base de reglas Construir Matriz Difusa

1:. R ROH

Operaciones Necesarias

Conocer los parámetros de sintonización, es decir las constan1es kp, kd y ki, lo cual se hace por métodos como el de Ziegler-Nichols, es muy Importante sintonizar óptimamente el controlador, si no, los resultados no seran los deseados Para ello, es necesario obtener la respuesta en lazo

abierto del sistema.

Calcula el error e, a partir del nivel en TQ2.

Aplica algoritmo de control PID discreto, para ello requiere las constantes de sintonización y conocer el tiempo de muestreo.

Determina la acción cie control

Operaciones Necesarias

No se requiere ningun cálculo previo, n1 modelo del sistema , ni parámetros, ni hacer nmguna modificación manual al sistema. Tampoco se requiere conocer ninguna respuesta del sistema en lazo abierto o antes de controlarlo. En este caso se obtuvo la respuesta sin controlador por fines comparat1vos.

Lee el nivel en TQ2 y calcula error e y e' a partir de la medición anterior.

Activa base de reglas. Calcula d1stribuc16n de la salida y obtiene su centroide difuso.

Defuzifica y obtiene acción de control.

¿Cuándo usar un Controlador Difuso?

A pesar de las ventajas. arriba mencíonadas, no siempre el diseñar un Controlador Difuso es la mejor solución al problema de control (15].

Se recomienda el uso de un Controlador Difuso, cuando las variables de control son contínuas, cuando no existe el modelo matemático del sistema o bien, existe pero es difícíl de programar o es muy complejo para ser evaluado en tiempo real; cuando se trabaja en ambientes con ruido. o bien se requiere implantar un procesador o sensor poco costoso. Pero, lo más importante. se recomienda cuando se cuenta con el conocimiento de un operador experto , quien pueda determinar tanto las reglas como los Conj untos Difusos que representen las características plenas de cada variable. [16]

J ,...\,

DISEÑO DEL CONTROLADOR POR MEDIO DE LÓGICA DIFUSA

El Controlador Difuso que se diseí'lará en esta sección, es para controlar un sistema hidraúlico de segundo orden, como el que se muestra en la fig. 6. [17,18)

Pl anteamiento del Problema

Se desea controlar el flujo de entrada F, para alcanzar y/o mantener el nivel de líquido deseado en el tanque TQ2.

Este nivel deseado se indicará como un Punto de Ajuste al controlador, el cual estará en un rango del 0% al 100%, dependiendo del nivel en el tanque TQ2.

CAMBIO DE ERROR E'

Varía ble Lmgüística

GN Grande Negativo PN Pequeí'lo Negativo Z Cero

PP Pequeño Positivo

GP Grande Positivo

Descripción

El tanque se vacla rápidamente Eltanque se vacía moderadamente El tanque no se llena ni se vacía

El tanque se llena moderadamente

El tanque se llena rápidamente

Funciones de Pertenencia

Se definen las Funciones de Pertenencia del tipo triangular, traslapadas con un traslape menor al 25%; cumplen el requisito de que entre más satisfaga una entrada x, las condiciones que definen una función de pertenencia, su grado de pertenencia será más cercano a 1.

Son 5 los conjuntos difusos que se forman y cuentan con los rangos que se muestran en las figuras 7,8, y 9, las cuales presentan las funciones de pertenencia para el ERROR, CAMBIO DEL ERROR y FLUJO, respectivamente.

l ( \ :-; . l\ d ) ( ( 111 )

Fig. 7 Funciones de Pertenencia ERROR

l.) \ l. (;p

-·.. ·

l \ \lf3J O DCL J.:1,:LO H ( !'. )

\ ' m)

Fig. 8. Funciones de Pertenencia Cambio de Error

;L.;_ --- .

-.:.:; - .·

r.¡x JO

( · .\ p E:' 1l1.1 i a v <L 1' u Ia )

Fig. 9 Funciones de Perter.encia FLUJO

Diseño de l a Base de Reglas

Por la forma en cómo se definieron las variables lingüísticas y las funciones que las definen, se cuenta con un total de 5 x 5 = 25 reglas, de las cuales no todas son igual de importantes.

Para este caso se ha considerado necesario el definir las 25 reglas ya que los rangos en los que se le permitirá responder al controlador, incluye los casos más críticos en los que puede estar el sistema , como ya se ha mencionado, éstos son,cuando eltanque esté vacío y se requiera un punto de ajuste del 100% o viceversa. Para poder responder bajo estas circustancias críticas, es necesario definir todas las reglas.

(..' ¡;

¡ e

B l

T !<

º ºR

Fig. 1 o . Matriz Difusa para el control del Sistema hidraúlico

La matriz Difusa que se muestra en la figura 1O. incluye las 25 reglas que determinan totalmente la respuesta del controlador para cualquier condición de entradas. Las reglas que están sombreadas, son aquellas más importantes, o bien, las que se utilizan con mayor frecuencia, dado que una vez que el sistema ha respondido a los casos críticos (reglas de los extremos) su respuesta estará dentro de las 11 reglas consideradas más importantes.

Procesamiento Difuso y Obtención de la Acción de Control

Como se muestra en la sección anterior, las premisas o condiciones de las reglas, están unidas por un "Y" lógico, es decir, para que una regla se active, se tienen que cumplir ambas condiciones; a su vez, las 25 reglas se relacionan entre si por medio de un ''O" lógico, esto es, que se puede activar una u otra regla o bien, otras reglas.

Recordando un poco, se calculan previamente los centroides de las funciones de pertenencia definidas para el Flujo, dado que las funciones consideradas son simétricas, el cálculo del centrorde se reduce al producto punto entre el vector formado por los cinco centroides y el vector formado por los cinco grados de pertenencia, entre este mismo vector, como se muestra a continuación :

e = vector de centroides

C_OM = centroide de la función de pertenencia DM

C_DP = centroide de la función de pertenencia DP C_M = centroide de la función de pertenencia M C_AP = centroide de la función de pertenencia AP

C_AM = centroide de la función de pertenencia AM

y el vector formado por los grados de pertenencia de los consecuentes activados por las reglas, GP = lGP_DM GP_DP GP_M GP_AP GP_AM J

donde:

GP = vector formado por los grados de pertenencia activados para cada una de las 5 funciones de salida

GP_DM = Grado de pertenencia de DM (Disminuye Mucho)

GP_::>P = Grado de pertenencia de DP (Disminuye Poco) GP_M = Grado de pertenencia de M (Mantener flujo)

GP_AP = Grado de pertenencia de AP (Aumentar Poco)

GP_AM = Grado de pertenencia de AM (Aumentar Mucho) de modo que el centroide difuso está dado por :

..el = C -IJM ..GP- DM - "" DP*<if' -DI .:. (-M <W - .J ... C- 4 P *(11'-.-.J> ,_ t AM "' Gf' AA!

(i)' _ lJM + GP_ J)P +Gi' _ lvl +úl' _ Al' + GP _ ,-L\/

donde cd = centroide difuso.

En la figura 11 se esquematiza este centroide difuso para una entrada determinada x.

lJi • .'lt- 1 it.1ll '

\I ,p

1 Rl:CLA 1 •>'_1<_1_,1__:... _'_' "_"r,c1.__<'_'_

C'CN1J?r\1fl[ fllrl :':O

Fig. 11 Centroíde Difuso

l ,...\.

Como ya se explicó, este valor es único y considera toda la distribución de la salida F, el valor centroide difuso es un número no difuso y es el que determina la acción de control u que será la variable manipulada que entra al sistema, produciendo una salida y la cual se retroalimentará y se tendrá otra entrada x para el controlador; este proceso se debe repetir hasta que la salida y sea igual a la entrada deseada, en este caso, hasta que el sistema se estabilice en el nivel determinado por el punto de ajuste deseado.

RESULTADOS

Tanto el modelo dinámico del sistema hidráulico como el controlador difuso fueron programados en Matlab [19.20). Se analizan 2 casos como ejemplo:

Caso 1: El nivel en el tanque TQ2 es de 60 cm y se requiere un punto de ajuste del 0%, es decir, vaciar el tanque por completo y mantenerlo así. La figura 12 muestra estas respuestas: la 12.a. presenta la respuesta con Contcolador Difuso, se observa que las reglas que actúan en las primeras 4 o 5 iteraciones son las de los extremos de la Matriz Difusa y luego, las reglas centrales estabilizan al sistema logrando esto en 1O iteraciones.

.J JA Coit eotrrJIOlftllOR DirUSO

S• 15 Zll %5

nuafJIM

Fig. 12.a. Controlador Difuso (Punto de ajuste 0%, nivel actual 60 cm)

.•Q.

...

ftUUTllU

Fig. 12.b. Controlador PID

Fig. 12. Respuestas con punto de ajuste del 0% y nivel actual 60 cm

La gráfica 12.b muestra la respuesta del PID ante las mismas condiciones de entrada; se ve que responde bastante bien, pero un poco más lento que el controlador Difuso. ya que éste alcanza el valor deseado por primera vez en 6 iteraciones y el PIO en 10. Al igual que en el caso anterior y en todos los casos, esto sucedió para unas constantes específicas . También se observa. que el nivel no llega hasta

los o cm, sino que se queda un poco aniba (0.2 cm) y sigue bajando lentamente a lo largo del tiempo.

Si se cambia la constante proporcional , no llega a cero sino hasta después de un gran número de iteraciones.

-t :----5;------ 11--- --1S---28 - 2S 38

flUliTlll\S

Fig. 13.b. Respuesta con controlador PID

Fig.1J. Respuestas ante un punto de ajuste del 6% y un nivel actual de Ocm

Como se puede observar. el controlador Difuso se estabíliza en el valor deseado en aproximadamente 5 iteraciones , mientras que el controlador PID lo logra en casi 1O iteraciones. esto indica que la respuesta del controlador Difuso para los cambios pequeí'los es mucho mejor que la del PID.

CONCLUSIONES

El presente trabajo ha tenido como objetivo el diseñar un controlador por medio de la Lóg1ca Difusa. se diseñó el Controlador Difuso para un sistema hidraúlico porque se considera que éste es uno de los procesos que más comúnmente se encuentran en la industria. Se dió una introducción a Lógica Difusa como un método alternativo de control.

Con este trabajo se ha intentado dar una visión general de los conceptos que comprenden a la Lógica Dif usa, desgraciadamente, no se cubre n en su totalidad los alcances de esta teoría , los cuales van mucho más allá de los expueslos en este trabajo. La teoría,como se ha desarrollado a lo largo d e estas secciones ha sido en su forma más simple, con el objeto de conocer su funcionameinto y factibilidad de aplicación en el control de procesos. (21-24)

El campo de aplicaciones de la Lógica Difusa es cada día más amplio, y si no se aplica para el control de procesos. se puede aplicar en cualquier proceso en el que intervenga de manera directa acciones dadas por el pensamiento humano.

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