Análisis experimental de la superposición de información en espacios de memoria aleatoria

A. T. Ramos Fonseca & J. F1gueroa Nazuno Centro de Investigación en Computacrón-IPN Laboratorio de Cómputo Distriburdo y Paralelo. E-mal/ <sadness@compaq .net.mx>

<j fn@pollux.mx>

RESUMEN

En este trabajo se presenta un modelo de almacenamiento de información que es especiaimente ade­ cuado para sistemas neurocomputacionales no supervisados. Nuestro modelo utiliza como fundamento teórico el Teorema de Ramsey. Se demuestra experimentalmente que en una matriz discreta generada aleatoriamente y lo suficientemente grande (dependiente de 111 i: 11). es posible encontrar cualquier matriz discreta de tamaño m x n. La probabilidad p( <p e A1) de encontrar una submatriz de tamaño 11; x n dentro de un Espacio de Memoria Aleatoria específico aumenta al permitir grados de error acotado. Introducimos entonces el concepto de patrón de información. También aplicamos diferentes transformaciones lineales a la matriz original, lo cual amplía el espacio de búsqueda y por lo tanto también aumenta la probabilidad

p(rp e M). El modelo se implementa utilizando memorias de cuatro estados y se demuestra una de sus

principales características: la superposición de información. Un mismo elemento físico de memoria se uti­ liza para almacenar varios patrones de información a un mismo tiempo. Se encuentra que para patrones de información de dimensión cuadrada 111 x 111 el máximo grado de superposición que se puede obtener es ( 2m - 1)2 y que en un EMA de tamaño relativamente pequeño es posible almacenar una gran cantidad de patrones de información

Palabras clave: Teorema de Ramsey, matoz discreta, Espacio de memona aleatoria, patrón de informa­ ción, superposición de información.

ABSTRACT

This works presents an information storag1ng model, specíally useful for neurocomputmg non supervised systems. Our model uses Ramsey Theorem as a theoretical foundation. lt is experimentaly shown that in a discreet matrix randomly generated and large enough (dependan!of m x n) it is possible to find any dis­ creet matrix of 111 x 11 siz.e. The probability p( <p e fvf) of finding a sub-matrix of /11 - /1 siz.e within an specific Random Memory Space increases when allowing limited error degrees. We introduce then the concept of information pattern. We also apply d1verse lineal transformations to the original matrix, which lenghtens the space of search and also increaseslhe probability p( <p e M). The model is implemented using memo­ ries of tour stages and one of its main features is proven: information superposition. One sole physícal element of memory is used to store several information patterns al the same time. P is found that for infor­ mation patterns of squared dimensíon 111 r 11 the maximum degree of attainable superposition is ( 2m - 1) 2 and that in an EMA relatively small can be stored a great amount of information patterns.

Keywords: Ramsey lheorem, discreet matrix, Random Memory Space, informa/ion pattem, informa/ion superposítion.

Rev C entro tri v (Méx) Vol 5 . N11m s 17-16 , Ju/ 2001-Jun 2002 29

J¡)

1 INTRODUCCION

La necesidad de modelos de representación de grandes cantidades de información es carac­ terística dentro del campo de la neurocompu­ tación2. El objetivo de este trabajo es plantear un modelo de almacenamiento de información: el Espacio de Memoria Aleatoria (EMA). Este modelo tiene fundamento teórico en el Teorema de Ramsey, el cual de manera general afirma que si un grafo contiene suficientes vértices (valor dependiente de k), entonces debe con­ tener un conjunto completo o un conjunto inde­ pendiente de tamaño k4 .

Nuestro modelo parte de la suposición de que dentro de una matriz discreta de un tamaño¡x j suficientemente grande y con valores genera­

dos aleatoriamente, es posible encontrar cual­ qL1ier matriz discreta de tamaño /11 x 11 que se desee. con una probabilidad directamente pro­

porcional ar tamaño de la matriz aleatoria e

inversamente proporcional al tamaño de la sub­ matriz que se busca.

De manera general, el modelo consiste en una matriz binaria M generada aleatoriamente. La información que se pretende buscar y alma­ cenar es sometida a una transformación me­ diante la cual una cadena binaria :; se convierte en una matriz q>. Se efectúa una búsqueda de <p en cada una de las transformaciones lineales definidas para la matriz M, hasta que se encuentra una submatriz 0 de M que es igual a

<p. En ese momento se "marca" un elemento de memoria que tiene una posición específica den­ tro de 0 con una referencia a la transformación en que fue encontrada la submatriz. Esto per­ mite la recuperación efectiva de todas las matri­ ces <p y por lo tanto de toda la "información almacenada".

Dado que la utilización de los elementos de una submatriz e por una matriz <p1 no impide

que algunos de estos mismos elementos sean utilizados por algunas otras matrices lf>:?,<Q,,,. .,c:p., es posible que varias matrices q>¡ compartan un

mismo espacio físico de memoria,dando lugar a la superposición de información (Figura 1).

o			1
	1	1
o	o	1	o		o	1	o	o
1	1	o	o	1	1	o	1
								1
1	1	o	1	o	1	1	1	o
		1	o	1	o	o	1	1
		o	1	o	1

F igure 1 St¡pe1posic1011 :Je info1mac; ·,n en una

matru al · atona

S1 permitimos que la búsqueda de matrices <P en el Espacio de Memoria Aleatoria presente errores acotados, es decir, si permitimos que exista una diferencia acotada entre <¡> y alguna

submatriz e. entonces la probabilidad de encon­ trar edentro de M aumenta. Estamos hablando

entonces de patrones de información, dado que nuestro interés no se centra en una repre­ sentación exacta de una estructura de informa­ ción pero sí en una estructura fundamental que debe conservarse y que es significativa dentro de algún paradigma computacional. En la sec­ ción 5 demostramos expenmentalmente cómo el introducir el concepto de patrón de informa­

ción aumenta dramáticamente la probabilidad de encontrar dentro de M alguna e que con­

serve la estructura fundamentalde una matriz <p.

Aunque el cálculo del tamaño de la matriz aleatoria para un tamaño especifico de subma­ trices m x 11 permanece desconocido, nos pro­ ponemos: 1) Encontrar de manera experimental una relación entre los tamaños de las matrices de tal manera que tengamos la certeza de qu dado un tamaño de submatriz, será posible encontrar cualquier instancia de este tamaño dentro de la matriz aleatoria; 2) Estudiar el com­ portamiento del modelo cuando se pre1ende almacenar grandes cantidades de información y

3) Proponer elmodelo como un paradigma efec­ tivo y eficiente para sistemas neurocomputa­ cionales.

2 TEOREMA DE R;MSE

En el campo de las matemáticas, existen numerosos teoremas que afirman, de manera general, que todo sistema de una cierta clase

R \ Centro In, (Mé,..) Vo 5 Num:s 17 18 Ju/ 2001 Jun 2002

= - ---- = - - ------. . =-

- - lff. 1íi;.uto:

contiene un subsistema con un grado de organi­ zación mayor que el sistema original1.

Los llamados "Teoremas de tipo Ramsey" prueban esta afirmación tomando como objetos de análisis diferentes entes matemáticos: con­ juntos y grafos (Ramsey)7. ecuaciones (Schur, Rado)8·9, progresiones aritméticas (Van der

Dado cualquier coloreo en r de [n l2 , si existe i,

1 s i r, y un conjunto T \:: [n). ITI = 1, tal que [TF

es monocromático en i. entonces escribimos

n (11 .•.. .l,)

La función de Ramsey R(l1,....1,) denota el mínimo valor de n tal que la proposición anterior

,

Waerden) 12

secuencias frnitas formadas de

es cierta.

conjuntos finitos (Hales-Jewett)5. espacios vec­

toriales (Graham-Lib-Rolhschild)3, etc. Estos teoremas conforman lo que se conoce de manera genera l como la Teoría de Ramsey, una subdisciplina dentro de las matemáticas discre­ tas. La mayoría de estos teoremas afirman que un coloreado en r de cualquier estructura lo sufi­ cientemente grande contiene una subest ructura monocromática de cierto tamaño. En términos de la teoría de grafos, si un grafo contiene sufi­ cientes vértices (un número dependient e de k). entonces debe contener o un conjunto completo o un conjunto independiente de vértices de tamaño k.

Resulta conveniente mencionar que algunos teoremas matemáticos como el de Bolzano­ Weierstrass. que afirma que dentro de cualquier secuencia acotada de números complejos existe una subsecuencia convergente, entran dentro de la clase de teoremas mencionada en1, pero no conforman parte de la Teoría de Ram­ sey.

Para dar una definición formal rntroducimos la siguiente notación.

l+ :: {1,2,...}== los enteros positivos.

{n] = {1,...,n}, n ,+ es un conjunto arbitrar io de

cardinalidad n.

[A)k = {B:B e A, IBI = k}.

Un coloreado en r de un conjunto S es un mapeo

( : S -7 (r]

Para s E S, a (<s) se le denomina el color de s. y decimos que un conjunto T e S es

monocromático bajo ( si (ú> es constante en T, esto es

(<1 ) = r¡ V t E T, T \:: S. i constante

.He11 C:«1 tro.1r1v Mx Vol 5. Nvr · f 7 78 Ju/ 2001-JUr• WO.

La generalización del caso anterior es cuan­ do consideramos el coloreado en r de ln]k, donde k es un entero arbitrario.

Definimos n (11.....V si, para todo colorea­ do en r de [nJ J.. , existe i, 1 s isr. y un conjunto T

f n l . ITI= 1, tal que [T)k es monocromático en i.

En este caso, la función de Ramsey para conjuntos de cardinalidad k se indica por Rk

R 01·····l) = mini n0 : para n 11,1, n (11..•.,1,)k}

El Teorema de Ramsey afirma que la función Rk está bien definida: esto es, para todo k,1¡,....I,. existe n0 talque para n 110 se cumple

Se han desarrollado varias demostraciones de éste teorema . La demostración original a cargo de Frank P. Ramsey toma tanto el caso de un conjunto infinito como el de su análogo finito7.

El cálculo de los valores exactos de la función de Ramsey R(k.I) para valores pequeños de k,I ha significado tremendos esfuerzos, sin embar­ go, hasta la fecha se conocen solamente los valores exactos y las cotas superiores e inferio­ res publicadas en6.

Nuestro interés se encuentra en probar experimentalmente la idea básica del Teorema de Ramsey en matríces discretas y utilizar esta poderosa idea como fundamento para un nuevo paradigma de almacenamiento de información en sistemas neurocomputacionales. Para ello debemos probar experimentalmente que en una matriz discreta M de un tamaño suficientemente grande (posiblemente generada de manera

aleatoria) podemos encontrar cualquier matriz

J I

Artículo _. '

_ _ - - ':'° _ - - -- - _

discreta cp de un tamaño menor que M, con una probabilidad que aumenta conforme el tamaño de M es mayor.

p (cp e M) aumenta si M aumenta en tamaño 3.EL MODELO FORMAL.

Definimos un Espacio de Memoria Aleatoria

(EMA) corno la tupla <M.E.S.T.0.í,€>. M es una matriz bidimensional, E. T. e y r son conjuntos. S es un par ordenado y e es un natural.

M es una matriz de tamaño ix j que contiene estructuras de la forma (v,r) en donde v E E. r es una referencia a algún < E T. E y T son conjun­ tos finitos y

l.:. e (el conjunto de tos números discretos) Definimos elconjunto de valores base E' como E' = {e :c c E A IE'f :::: IE J/ 2 1

Los valores v son generados inicialmenle de manera aleatoria y cumplen con la restricción

V E E'

Definimos la matriz de valores M, corno aquella que se obtiene al eliminar el elemento r de cada una de tas estructuras (v,r) de la matriz

M. La matriz de referencias M, es la que se obtiene aleliminar elelemento v de cada una de las estructuras (v.r) de la matriz M.

La correspondencia entre un elemento MV,J y uno !\t,, es permanente, es decir, un elemento

0 es el conjunto de submatrices de tamaño m x

n contenidas en las matrices i:(M,.) de Ml"

donde cada elemento 0,y en(:} se encuentra for­ mado por el conjunto Pxv de elementos

y donde cada P,yhl.. es un valor v en una •(M,.) con posición en (h.k) dado er- origen relativo (x,y).

Dado algún 0,, •+ E e. donde a,b E l , sí se cumplen las condiciones lal< m y lbl < n, y sea

entonces la siguiente proposición es válida:

B o

Puede observarse que las submatrices 0,y y 0Ha , ¡, contienen elementos Prhk en común dentro de alguna matriz -r(lvU. La cantidad de elementos compartida dentro de 1(M,.) por este par es

1 B !:::: ( abs( 111 - abs(a)) 1 1 nb(n - abs(b) J 1

donde ab(x) es el valor absoluto de x.

El número de submatnces 0) en M\ está dado por

e = l(1 - 111 + i) (j - n + 1)J t

M ,,

1

está relacionado en todo momento sola­

mente con el elemento M,u·

S = tm.n) donde m.n E 1•.

T es un conjunto de transformaciones lineales -r

que operan sobre M. M,. y M,, produciendo los conju:>tos de matrices M'. M'. y M', .

M'= {-r(M) :i:e T)

M\ = { t(MV) : '( E T 1

1W, = { t(Mr) : i: E TJ

32

donde t es el número de transformac iones

lineales aplicables a M.

t = IT I

Un patrón de entrada <p es una matriz binaria de tamaño 111 r n. Al aplicar las transforma­ ciones lineales i: a la matriz M,se incrementa la probabilidad de ocurrencia de <p

p(<p E 0)

La búsqueda de un patrón q> en el EMA es un mapeo del plano de entrada <P a un plano r(Mv)

Rev Ce ntro tn v ( Méx) Vol . 5 , Nums 17 -18 . Jul . 2001-JtJri . 200 2

..... .. --. .

Artículo ;

para alguna 1. obteniendo una submatriz e,Y e

e. que no necesariamente es idéntica a <p. y el número de elementos en que difieren queda determinado por

m- ! 11- l

t((jl.0,y) = L 2: </> (1 1) \¡! <:;)"Y (\ +\;.y+ ll

k=O 1=0

donde \ji es un operador de equivalencia, que se define de la siguiente manera:

O si nRb

que almacenan algún patrón de entrada <¡> con f(<¡>,0,y) < ::: € y que comparten al elemento M.;¡ de M,.. Para patrones de entrada <p con geometría cuadrada r11 x 111 el máximo grado de superposición queda determinado por

(2m - 1)2

Debido a que al almacenar un patrón, se "marca" un elemento (v,r), el número maximo de patrones que se puede almacenar en un espa­ cio de memoria aleatoria es ;x j. el tamaño de la matriz M.

a e i::.· . b e E de or r 1 r.l.?.'1era

La relación R: E. E es reflexiva y mantiene una correspondencia 1 a 2.

Para que el patrón de entrada cp sea asignado a la submatriz 0,), son condiciones necesarias

debido a que al momento de asignarse. el valor v de Qxy11es sustituido por

w E r:. vRw. v ;é w

y este elemento no podrá utilizarse para marcar algún otro patrón de entrada 1p,. Adicional­

mente, alelemento r, con el que e,,11 forma una

estructura (v,r) en !\I, le debe ser asignada una referencia a la transformación 't para la cual e,)'

es una submatriz de -c(MJ.

r es el conjunto de patrones que se almacenan en el [:!\.JA dado un conjunto il de patrones de entrada

n\- l n- 1

l'= IE\1:( L 1<t>ll.n 'l' 0» '' L.> ·" )T c,

k=O l-=O

El grado de superposición de un elemento M,i. es decir, una estructura (v,r) con posición i. j en la matriz M. es el número de submatrices 0xy

4. IMPLEMENTAC IÓN.

M es implementada como un vector de n Matri· ces < M1.M2.....M0) de tamaño ix j. Dado que deseamos manejar patrones binarios de infor­ mación, cada elemento de M, es una unidad de

memoria de 4 estados:

E = (O. l , 0*, !*) y E·(o. n

El valor de 11 depende de el número de trans­ formaciones -r definidas sobre M. M,. y M, (t :::: ITI). En nuestros experimentos decidimos uti­

lizar dos coniuntos de transformaciones linea­ les. El primero consta de 16 transformaciones que se obtienen de la siguiente manera:

1. 4 diferentes rotaciones: 90, 180 y 270 grados.

2. A cada una de estas rotaciones. traslación en su eje horizontal.

3. A cada una de las 8 transformaciones anteriores, inversión de los valores lógicos de la matriz.

Dado que cada elemento de memoria puede codificar cuatro diferentes estados, un vector de dos elementos puede codificar estas dieciseis transformaciones. Decimos que

M_. = M 1

M,:;:. (M1,M3)

y un elemenco (una estructurn) de M con posición i j

e define por

donde v = M1.. v r = (M,. M ..).

'.I J -'J'

3IJ

., 3.>

1.Artícrt!ir - -.- - t-

- - .- -_ • .-.i: - -

El segundo conjunto incluye 48 transforma­ ciones. 3 de las cuales llamamos básicas:

1. La matriz original.

2. Intercambiando pares de renglones.

3. Intercambiando pares de columnas.

4. A cada una de las tres anteriores, se le apli­ can las 16 transformaciones del primer con­ junto.

En este caso, definimos cuatro matrices: M1 •

M2 • M-' y M.:

M,= M1

M,= (M,.,M 3,M4)

Mij = (M11 ' (M1.,. M3;_¡.M4))

Tanto el tamaño irj de M.el tamaño "'x" de los patrones de entrada q> y el grado de error e per­ mitido en la búsqueda de patrones dentro de Mv

quedan como parámetros para el analisis experimental. Sin embargo, en nuestros ex.peri­ mentos restringimos las dimensiones de M y m

a espacios cuadrados , es decir. i =j y 111 ::: n.

5 ANALISIS EXPERIMEI'.TA .

El primer experimento consistió en medir las fre­ cuencias de ocurrencia de los elementos de un

conjunto de patrones de entrada generados de manera aleatoria . El objetivo es encontrar expe­ rimentalmente una relación entre el tamaño de la matriz M, el tamaño de los patrones <p y el grado de error permitido e. de tal manera que tengamos la certeza de que cualquier patrón de entrada será encontrado dentro un Espacio de Memoria Aleatoria particular. Los resultados se muestran en las Tablas 1 y 2 para EMA's de 16 y 48 transformaciones respectivamente.

A continuación medimos una de las carac­ ter ísticas mas importantes del modelo: la super­ posición de información. Para ello generamos n de patrones de manera aleatoria, efectuamos la búsqueda y asignación de cada patrón y poste­ riormente medimos, para cada estructura (v,t) en M. cuántos patrones eslán ocupando dicha estructura (el grado de superposición). El valor de n debe ser tal que se logren encontrar todos los patrones dentro del EMA. Las Tablas 3 y 4 muestran el número de estructuras que presen­ tan determinado grado de superposición dados un tamaño de EMA. un tamaño de patrón de entrada, un número n de patrones, y un grado de error e particular. Estos resultados son los obtenidos como media de 50 repeticiones del experimento para EMA's de 16 transforma­ ciones.

Tabl a 1 Re s ultados e xpe n m e n teles de la ;recvencm de o cur rende etc U ll parró n i ;mario dentro

d e un E MA utd1 z arido 16 t 1anstor mac1ones (p !O medios sobre 5 0 pat ,. o .

ne s ) .

Re v Cr- 1.ro lnv (Me,() Vol 5 N<Jms. 1b Ju.' 2001-Jun. 2 002

Artf(·ulo

Tabla 2. Result9dos expenrmmtriles de la frecuencia da ocurrencia di; un patrór1 binario dt.ntro de Uíl EMA lltdiza-ido 48 transformaciones (promedio::: sobre 50 r;c1tronf..S)

Tamaño del Patrón	Grado de Error	Dimensión del EMA				-
		120x120	300x300	480x480	960x960
3x3	o	1307	8341	21445	86008
		12983	83264	214137	859308
	1
	2	59928	383249	984917	3957367
4x4	o	10	65	166	673
	1	171	1097	2824	11338
	2	1394	8825	22867	91888
	3	7036	45029	116272	466911
5x5	o 1	o o o 3		o 9	2 33
	2	5	38	107	430
	3	50	325	855	3461
	4	297	1923	4973	19963

Tabla 3 Resultados experrmentDl&s de supe1posic16n de ínfot mec1611 en Espacios de Memoria Aleatoria .

Resultados pa 1 a mAtnces de tamann 120x J 2U r.:on 16 tre11sformac1ones

Patrón	Error	Patrones	Oº	1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º	8º	9º	10º
3x3	o	250	13108	707	321	181	61	18	4	o	o	o	o
		500	12503	740	437	298	213	133	58	17	1	o	o
		1000	11426	939	553	450	297	304	226	115	74	16	o
4x4	1	250	11306	2366	572	136	18	2	o	o	o	o	o
		500	9074	3445	1305	414	118	35	7	2	o	o	o
		1000	6571	3676	1941	1144	591	293	122	48	13	1	o
5x5	2	250	10101	3335	845	91	8	o	o	o	o	o	o
		500	6690	5070	2006	545	87	2	o	o	o	o	o
		1000	3417	4705	3456	1822	733	210	42	12	3	o	o

Para dar una mejor idea de qué manera se lleva a cabo físicamente la superposición de información en los Espacios de Memoria Aleato­ ria, obséNense las Figuras 2, y 3. Estas figuras son matrices que representan los grados de superposición alcanzados en los elementos de un EMA experimental de 80x801 elcual almace-

na patrones de dimensión 3x3 sin error permiti­ do, esto es e = O. Cada color codifica un grado de superposición diferente . De esta manera po­ demos observar la evolución de un EMA res­ pecto a la perspectiva de la superposición de información.

Rov. Centro lr1v (Mé>:) Vol 5 Nt1ms 17 18, JU/ 2001-Jun 2002 35

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1

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Tabla 4 R e ultad() e l(penm em al es d e su perp os1c 1 1.. m de mlorm ac1o n en Esp8c1 o s d e Me m o n a A r e af1 )n a .

Resultados par:? ma 1íces de tameño 30Ux300 con 16 tra •s1ormac1onFs

Patrón	Error		Patrones	Oº		1º	2º	3º	4"	5º	6º	7°	8º	9º	10º
3x3 o t:¡{)()					87fi.68	107fi	f\¡:\{)	F\'<	171	48 1 2 o o o
		1000			86893	986	578	533	341	321	203	96	41	8	o
		2000			8533"5	992	643	755	498	460	550	321	276	150	o
4x4	1	500			84458	3805	1226	354	111	39	7	o	o	o	o
		1000			81650	4207	2090	1099	586	261	83	23	1	o	o
-·.---..-.. 5x5	2	2000 500			78251 78338	4366 10851	2371 784	165--·-- 27	1259 o	850 o	55 8 o	3 7 6 o	185 o	97 o	21 o

a) ••

• • •

.: =•! . • i

··::: --:.:•••: ••••

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11: • :•• ·

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l l 12 J 3 l 4 150 +

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Figur a 2 a ) Código d e c ol ores pa r a l a& fJ q ur a .s 2 y 3 . b ) Vísualizac1 ón t1e superpusic16n de información

p a 1 a u n 1=MA de 80x80 y 4 0 0 0 pat ron es d e tam a ñ o 3 x3 .

Re1 Cenfrolm (Mx) Vol 5. Nóms í7-18. Ju/ 2001-Jun 2002

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Fi gu ra 3 _ \/1soalizacrón de superposiC1ón de mformac1ón p am un EMA de BOxBO y 6000 patrones de tamai?o Jx3. El código de co l ores se observa en h. Figura 2 .

Table 5 Resultados experimentab·s de superposición de 111formac1ón e n Espacio s clti Memor i e Afeato ia Resultados para matríces de tamaño 120x120 con 16 fra1sformaciones y ntírnero de patmne:o •'ercano a la capa cidad m á xima efe a/macenamí&nto

Tamaño del Patrón Grado de Error Número de Patrones Grados de Superposición Oº 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7° 8º 9º 1Oº 3x3 o 500 87668 1075 660 363 171. 48 13 2 o o o 1000 86893 986 578 533 341 321 203 96 41 8 o 2000 85335 992 643 755 498 460 550 321 276 150 o 4x4 1 500 84458 3805 1226 354 111 39 7 o o b o 1000 81650 4207 2090 1099 586 261 83 23 1 o o 2000 78251 4366 2371 1658 1259 850 558 375 185 97 21 5x5 2 500 78338 10851 784 27 o o o o o o o 1000 68467 52005 18443 2744 3165 31 o o o o -b o o 2000 28124 8016 1610 215 26 4 o·- o o

- -

F<ev Ce ntr o lnv ¡Méx) Vol 5. Nums 17-tB. Jul 2001-Jun. 2002 37

,tÜ;ríe.ufo -

1.,, • , • Tabla 5.

1000	86893	986	578	533	341	321	203	96	41	8	o
2000	85335	992	643	755	498	460	550	321	276	150	o
500	84458	3805	1226	354	111	39	7	o	o	o	o
1000 2000	81650 78251	4207 4366	2090 2371	1099 1658	586 1259	261 850	83 558	23 376	1 185	o 97	o- 21
500	78338	10851 784 27 o o o o o o o 18443 2744 3165 31 o o o o o o 28124 8016 1610 215 26 4 o o o o
1000	68467
2000	52005

El experimento realizado para la obtención de las Figuras 2 y 3 sugiere que un EMA puede almacenar muchos más patrones de entrada que los utilizados para generar las Tablas 3 y 4 . Por ello realizamos un último experimento para encontrar los mayores niveles de superposición alcanzados cuando se genera un gran número de patrones. número cercano a la capacidad máxima de almacenamiento del EMA. La Tabla

5 muestra los resultados obtenidos para un EMA de 120x120. Se utilizan únicamente patro­ nes de tamaño 3x3 y 4x4, debido a que no es posible encontrar todos los patrones generados cuando su tamaño es 5x5.

r INTERPl1E JACIÓN DE LOS RESULTADOS .

En las Tablas 2 y 3 podemos observar como la probabilidad de encontrar un patrón de entrada dentro de un EMA de tamaño particular aumen­ ta de manera directamente proporcional al Ta­ maño del EMA y el grado de error permitido e inversamente proporcional al tamaño del patrón de entrada .

las Tablas 3. 4 y 5 junto con las Figuras 2 y 3 demuestran en forma muy clara la superposi­ ción de información que tiene lugar en cada ele­ mento de memoria física dentro de un EMA. Podemos observar cuantitativa y cualitativa­ mente cómo un mismo elemento físico de alma­

cenamiento puede utilizarse para almacenar mas información de la que es capaz al utilizar un modelo convencional de memoria.

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En la Sección 3 se afirma que el máximo grado de superposición posible cuando uli­ lizamos patrones de entrada con geometría cuadrada m x m es (2m - J )2, es decir, teórica­ mente es posible que (2m - J )2 patrones estén utilizando un mismo elemento de memoria físi­ ca. En la práctica vemos que el máximo grado de superposición es mucho menor,aún cuando el número de patrones almacenados es muy cercano a la capacidad máxima del EMA, esto es debido a que el cálculo de el grado máximo de superposición obedece a una distribución específica de los patrones en las diferentes transformaciones de las matrices y de la posi­ ción dentro de estas transformaciones, distribu­ ción que no tiene ninguna certeza de lograrse dada la naturaleza aleatoria de la matriz de valores.

Podemos efectuar un análisis de la capaci­ dad teórica de almacenamiento de información en un EMA particular y comparar este valor con su análogo utilizando un modelo convencional de memoria. Esto es. en un EMA de ix i que al­ macena patrones binarios de entrada de tama­ño m x m (utilizando memorias físicas de cuatro estados). teóricamente podemos almacenar i x i patrones, por lo tanto podemos almacenar ¡l x m1 bits,es decir,se pueden codificar

combinaciones . Cuando el mismo espacio de memoria física se emplea de manera conven-